Как найти сопряжение. Сопряжение прямой с окружностью. Сопряжение дуг окружностей дугой окружности
Лист № 4
Цель задания : ознакомление с правилами построения плавного перехода от одной линии к другой.
Выполнить на листе формата А4 задание «Сопряжение», взяв данные по своему варианту из таблицы 6 (стр. 38-41).
Сопряжением линий называется плавный переход по кривой от одной линии к другой. Точкой сопряжения линий называется общая точка двух сопрягаемых линий, это точка в которой одна линия переходит в другую линию.
Построение сопряжений основано на геометрических понятиях о прямых, касательных к окружностям и на свойствах касающихся между собой окружностей.
Для правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях:
1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восстановленном из точки сопряжения (рисунок 38). При сопряжении прямой линии и кривой прямая должна являться одновременно касательной к кривой.
2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения и перпендикулярной к общей касательной этих дуг (рисунок 38). Точку сопряжения находят на прямой, соединяющей центры окружностей. Точка сопряжения (В) является границей двух линий, здесь кончается одна линия и начинается другая. Следовательно, точки сопряжения являются вместе с тем и точками касания прямой и дуги или двух дуг.
Рисунок 38 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжений сторон угла (острого, тупого, прямого) дугой заданного радиуса R (рисунок 39).
На рисунке 39а выполнено построение сопряжения сторон острого угла дугой, на рисунке 39б – тупого угла, на рисунке 39в – прямого.
Сопряжение выполняется следующим образом: параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих линий будет центром дуги радиуса R, т.е. центром сопряжения. Из центра О описывают дугу, плавно переходящую в прямые – стороны угла. Дугу заканчивают в точках М и N – это точки сопряжения, они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла.
Рисунок 39 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжения дуги с дугой.
Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутренним, внешним и смешанным.
При внутреннем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40а).
При внешнем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40б).
При смешанном сопряжении центр О 1 одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О другой сопрягаемой дуги вне её (рисунок 40в).
а) б) в)
Рисунок 40 – Построение сопряжений
Построение внутреннего сопряжения.
а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2 ;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
в) провести дугу сопряжения.
Построение сопряжения показано на рисунке 40а. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О – радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения точку О 2 соединяют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения прямых О 2 О и О 2 О 1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и S 1).
Радиусом R из центра О 2 проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения S и S 1 .
Построение внешнего сопряжения.
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 40б. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой R 2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО 2 и О 1 О 2 . Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения S и S1.
Из центра О 2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая её точками сопряжения S и S 1 .
Построение смешанного сопряжения.
а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Пример смешанного сопряжения приведен на рисунке 41 а,б .
а) б)
Рисунок 41 – Построение сопряжений
По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Соединив точки О и О 2 прямой получают точку сопряжения S 1 , соединив точки О 1 и О 2 находят точку сопряжения S. Из центра О 2 проводят дугу сопряжения от S до S 1 .
Таблица 6 – Варианты графической работы на построение сопряжений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8Продолжение таблицы 6
|
|
|
|
|
|
|
|
9
10
11
12
13ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
ТЕМА: СОПРЯЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ОКРУЖНОСТЕЙ
СОПРЯЖЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В КОНТУРАХ ТЕХНИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
Сопряжением называется плавный переход одной линии в другую.
Точка, в которой одна линия переходит в другую, называется точкой сопряжения.
Дуги, при помощи которых осуществляется плавный переход одной линии в другую, называются дугами сопряжений.
Касательной называется прямая, имеющая с замкнутой кривой только одну общую точку. Это предельное положение секущей, точки пересечения которой с кривой, стремясь друг к другу, сливаются в одну точку - точку касания.
Построение сопряжений основано на свойствах касательных к кривым и сводится к определению положения центра сопрягающей дуги и точек сопряжения (касания), т.е. точек, в которых заданные линии переходят в сопрягающую дугу
СОПРЯЖЕНИЕ УГЛОВ (СОПРЯЖЕНИЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ)
Сопряжение прямого угла
(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)
В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.
Сопряжение острого угла
(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом).
Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение острого угла. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля, равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a и b. Сопряжение острого угла построено.
Сопряжение тупого угла
(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)
Сопряжение тупого угла строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.
В этой небольшой статье, будут рассмотрены основные виды сопряжений и Вы узнаете о том, как построить сопряжение углов, прямых линий, окружностей и дуг, окружностей с прямой.
Сопряжением называют плавный переход одной линии в другую. Для того чтобы построить сопряжение, нужно найти центр сопряжения и точки сопряжений.
Точка сопряжения – это общая точка для сопрягаемых линий. Точку сопряжения также называют точкой перехода.
Ниже будут рассмотрены основные типы сопряжений .
Сопряжение углов (Сопряжение пересекающихся прямых)
Сопряжение прямого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)
В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.
Сопряжение острого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом)
Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение
острого угла
. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля,равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a
и b. Сопряжение острого угла построено.
Сопряжение тупого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)
Строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.
Сопряжение параллельных прямых линий
Построим сопряжение двух параллельных прямых . Нам задана точка сопряжения a, лежащая на одной прямой. Из точки a проведём перпендикуляр до пересечения его с другой прямой в точке b. Точки a и b являются точками сопряжения прямых линий. Проведя из каждой точки дугу, радиусом больш отрезка ab, найдём центр сопряжения — точку О. Из центра сопряжения проведём дугу заданного радиуса сопряжения R.
Сопряжение окружностей(дуг) с прямой линией
Внешнее сопряжение дуги и прямой линии
В этом примере будет построено сопряжение заданным радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиусом R.
Сначала найдём центр сопряжения. Для этого проведём прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса сопряжения r, и дугу, из центра окружности OR радиусом R+r. Точка пересечения дуги и прямой и будет центром сопряжения – точкой Оr .
Из центра сопряжения, точки Оr , опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на пересечении перпендикуляра и отрезка AB, и будет точкой сопряжения. Найдём вторую точку сопряжения на дуге окружности. Для этого соединим центр окружности ОR и центр сопряжения Оr линией. Получим вторую точку сопряжения – точку C. Из центра сопряжения проведём дугу сопряжения радиусом r, соединив точки сопряжения.
Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой
По аналогии строится внутреннее сопряжение прямой линии с дугой. Рассмотрим пример построения сопряжения радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиуса R. Найдём центр сопряжения. Для этого построим прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса r, и дугу, из центра окружности OR радиусом R-r. Точка Оr , полученная на пересечении прямой и дуги, и будет центром сопряжения.
Из центра сопряжения(точка Оr ) опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на основании перпендикуляра, и будет точкой сопряжения.
Для нахождения второй точки сопряжения на дуге окружности, соединим центр сопряжения Оr и центр окружности ОR прямой линией. На пересечении линии с дугой окружности получим вторую точку сопряжения – точку C. Из точки Оr , центра сопряжения, проведём дугу радиусом r, соединив точки сопряжения.
Сопряжение окружностей (дуг)
Внешним сопряжением считается сопряжение, при котором центры сопрягаемых окружностей(дуг) O1(радиус R1) и O2 (радиус R2) располагаются за сопрягающей дугой радиуса R. На примере рассмотрено внешнее сопряжение дуг. Сначала находим центр сопряжения. Центром сопряжения является точка пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R+R2, построенных из центров окружностей O1(R1) и O2(R2) соответственно. Затем центры окружностей O1 и O2 соединяем прямыми с центром сопряжения, точкой O, и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. После этого, из центра сопряжения строим дугу заданного радиуса сопряжения R и соединяем ей точки A и B.
Внутренним сопряжением называется сопряжение, при котором центры сопрягаемых дуг O1, радиуса R1, и O2, радиус R2, располагаются внутри сопрягающей их дуги заданного радиуса R. На картинке ниже приведён пример построения внутреннего сопряжения окружностей(дуг). Вначале мы находим центр сопряжения, которым является точка O, точка пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 проведённых из центров окружностей O1и O2 соответственно. После чего соединяем центры окружностей O1 и O2 прямыми линиями с центром сопряжения и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. Затем из центра сопряжения строим дугу сопряжения радиуса R и строим сопряжение.
Смешанным сопряжением дуг является сопряжение, при котором центр одной из сопрягаемых дуг (O1) лежит за пределами сопрягающей их дуги радиуса R, а центр другой окружности(O2) – внутри её. На иллюстрации ниже приведён пример смешанного сопряжения окружностей. Сначала находим центр сопряжения, точку O. Для нахождения центра сопряжения строим дуги окружностей с радиусами R+R1, из центра окружности радиуса R1 точки O1, и R-R2, из центра окружности радиуса R2 точки O2. После чего соединяем центр сопряжения точку O с центрами окружностей O1 и O2 прямыми и на пересечении с линиями соответствующих окружностей получаем точки сопряжения A и B. Затем строим сопряжение.
Сопряжение.
Сопряжение- плавный переход одной линии в другую.
Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданного радиуса.
Задача сводится к проведению окружности, касающейся обеих заданных прямых линий.
Вариант 1.
Проводим вспомогательные прямые параллельно заданным на расстоянии R от заданных.
Точка пересечения этих прямых будет центромО дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на
заданные прямые, определят точки касания К и К 1 .
Вариант 2.
Построение такое же.
Сопряжения. Построение сопряжения линий.
Вариант 3.
Если требуется провести окружность, чтобы она касалась трех пересекающихся прямых линий, то в этом случае
Радиус не может быть задан условиями задачи. Центр О окружности находится на пересечении биссектрис углов
В и С . Радиусом окружности является перпендикуляр, опущенный из центра О на любую из 3-х заданных прямых
Линий.
Сопряжения. Построение сопряжений линий.
Построение внешнего сопряжения данной окружности с данной прямойдугой заданного радиуса R 1 .
Из центра О данной окружности проводим дугу вспомогательной окружности радиусом R+R 1 .
Проводим прямую параллельно заданной на расстоянии R 1 .
Пересечение прямой и вспомогательной дуги даст точку центра дуги сопряжения О 1 .
Точка касания дуг К лежит на линии ОО 1 .
Точка касания дуги и линии К 1 лежит на пересечении перпендикуляра из точки О 1 на прямую с дугой.
Сопряжения. Построение внешнего сопряжения окружности с прямой.
Построение внутреннего сопряжения данной окружности с данной прямой дугой заданного радиуса R 1 .
Из центра О данной окружности проводим вспомогательную окружность радиусом R- R 1 .
Сопряжения. Построение внутреннего сопряжения окружности с прямой.
Построение сопряжения двух данных окружностей дугой заданного радиуса R 3 .
Внешнее касание.
Из центра окружности О 1 R 1 +R 3 .
Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 2 +R 3 .
Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку О 3 , которая является центром дуги сопряжения
Точки касания К 1 и К 2 находятся на линиях О 1 О 3 и О 2 О 3 .
Внутреннее касание
Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 -R 1 .
Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 - R 2 .
Пересечение
(окружности с радиусом R 3) .
Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.
Внешнее и внутреннее касание .
Заданы две окружности с центрами О 1 и О 2 с радиусами r 1 и r 2 . Необходимо провести окружность заданного
Радиуса R так, чтобы обеспечить с одной окружностью внутреннее касание, а с другой - внешнее.
Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R-r 1 .
Изцентра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R+r 2 .
Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку, которая является центром дуги сопряжения
(окружности с радиусом R) .
Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.
Построение окружности, проходящей через заданную точку А и касающейся данной окружности
в заданной точке В.
Находим середину прямой линии АВ . Через середину линии АВ поводим перпендикуляр. Пересечение продолжения
Линии ОВ и перпендикуляра дает точку О 1 . О 1 - центр искомой окружности с радиусом R = O 1 B = O 1 A.
Сопряжения. Внутреннее касание окружности и дуги .
Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на прямой точке А.
Из заданной точки А линии LM восстанавливаем перпендикуляр к прямой линии LM . На продолжении
Перпендикуляра откладываем отрезок АВ . АВ = R. Соединяем точку В с центром окружности О 1 прямой.
Из точки А проводим прямую линию параллельно ВО 1 до пересечения с окружностью. Получим точку К - точку
Касания. Соединим точку К с центром окружности О 1 . Продлим линии О 1 К и АВ до пересечения. Получим точку
О 2 , которая является центром дуги сопряжения с радиусом О 2 А = О 2 К.
Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке.
Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на окружности точке А.
Внешнее касание .
Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой линией LM даст точку В.
Делим угол пополам
О 1 . О 1 О 1 А = О 1 К.
Внутреннее касание.
Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой LM даст точку В.
Делим угол , образованный касательной и прямой линией LM , пополам . Пересечение биссектрисы угла и
Продолжения радиуса ОА даст точку О 1 . О 1 - О 1 А = О 1 К.
Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке на окружности.
Построение сопряжения двух неконцентрических дуг окружностей дугой заданного радиуса.
Проводим из центра дуги О 1 вспомогательную дугу радиусом R 1 -R 3 . Проводим из центра дуги О 2 вспомогательную
Дугу радиусом R 2 +R 3 . Пересечение дуг даст точку О. О - центр дуги сопряжения с радиусом R 3 . Точки касания
К 1 и К 2 лежат на линиях ОО 1 и ОО 2 .
Сопряжения. Сопряжение 2-х неконцентрических дуг окружностей дугой.
Построение лекальной кривой подбором дуг.
Подбирая центры дуг, совпадающих с участками кривой, можно циркулем вычертить любую лекальную кривую.
Для того чтобы дуги плавно переходили одна в другую, необходимо, чтобы точки их сопряжения (касания)
Находились на прямых линиях, соединяющих центры этих дуг.
Последовательность построений.
Подбираем центр 1 дугипроизвольного участка ab.
На продолжении первого радиуса подбираем центр 2 радиуса дуги участка bc.
На продолжении второго радиуса подбираем центр 3 радиуса дуги участка cd и т. д.
Так строим всю кривую.
Сопряжения. Подбор дуг.
Построение сопряжения двух параллельных прямых двумя дугами.
Заданные на прямых параллельных линиях точки А и В соединяем линией АВ.
Выбираем на прямой АВ произвольную точку М .
Делим отрезки АМ и ВМ пополам .
Восстанавливаем в серединах отрезков перпендикуляры.
В точках А и В, заданных прямых, восстанавливаем перпендикуляры к прямым.
Пересечение соответствующих перпендикуляров даст точки О 1 и О 2 .
О 1 центр дуги сопряжения с радиусом О 1 А = О 1 М.
О 2 центр дуги сопряжения с радиусом О 2 В = О 2 М.
Если точку М выбрать на середине линии АВ , то радиусы дуг сопряжения будут равны.
Касание дуг в точке М , находящейся на линии О 1 О 2 .
Сопряжения. Сопряжение параллельных прямых двумя дугами.
Для грамотного и уверенного построения чертежей и изготовления графических
дизайнерских работ, дизайнеру следует знать основные законы геометрических построений.
Приводимые ниже примеры легко освоить на практике, применяя для построений циркуль и
линейку или (на компьютере) любой векторный графический редактор.
Деление угла пополам
Из вершины А данного угла, как из центра провести дугу произвольного радиуса R,
которая пересечет стороны угла в точках C,B (Шаг 1).
Из точки B, как из центра тем же радиусом R провести дугу (Шаг 2).
Из точки С, как из центра тем же радиусом R провести дугу до пересечения в точке D (Шаг 3).
Прямая, соединяющая точки A и D - искомая биссектриса (Шаг 4).
Деление прямого угла на 3 равные части
Из вершины прямого угла А, как из центра, следует провести дугу BC,
произвольного радиуса R (Шаг 1).
Из точки B, как из центра, провести дугу, тем же радиусом R,
до пересечения с дугой BC в точке D (Шаг 2).
Из точки C, как из центра, провести дугу, тем же радиусом R, до пересечения с дугой BC в
точке E (Шаг 3).
Из точки А провести линии AD и AE (Шаг 4), которые и делят прямой угол BAC на три равных между
собой угла BAE, EAD и DAC.
Деление дуги окружности пополам
Из концов дуги АВ следует провести дуги радиусом R большим либо равным
1/2 длинны хорды АВ, которые пересекаются в точках M и N (Шаг 1).
Прямая, проведенная через точки M и N делит дугу и ее хорду АВ пополам и
проходит через ее центр О (Шаг 2).
Деление окружностей. Построение квадрата.
Первый способ построения (Рис. 1). Проводим в окружности вертикальный и горизонтальный
диаметры (Шаг 1).
Точки пересечения этих диаметров с окружностью являются вершинами квадрата (Шаг 2).
Второй способ построения (Рис. 2). Как и в первом способе проводим в окружности
вертикальный и горизонтальный диаметры. Из точек пересечения диаметров с окружностью
строим дуги с радиусом R, равным радиусу окружности (Шаг 1).
Точки пересечения дуг EG и FH соединяем соответственно линиями (Шаг 2).
Точки пересечения этих линий с окружностью и являются вершинами квадрата.
Деление окружностей. Построение правильного шестиугольника.
В окружности радиуса R следует провести вертикальный диаметр (Шаг 1).
Из нижней точки пересечения диаметра с окружностью, как из центра следует
провести дугу радиусом R (Шаг 2).
Аналогично, из верхней точки пересечения диаметра с окружностью следует
провести дугу радиусом R (Шаг 3).
Соединяем все точки пересечения на окружности и в итоге получаем правильный
шестиугольник (Шаг 4).
Деление окружностей. Построение равностороннего треугольника.
В окружности радиуса R (Шаг 1) следует провести вертикальный диаметр.
Из нижней точки пересечения диаметра с окружностью, как из центра, тем же радиусом R следует провести
дугу до пересечения с окружностью в точках C и B (Шаг 2). 
Точки A,B и C на окружности являются вершинами равностороннего треугольника (Шаг 3).
Деление окружностей. Построение правильного пятиугольника.
Провести в окружности радиусом R два перпендикулярных диаметра (Шаг 1).
Из точек A и B , как из центра, следует провести две дуги радиусом R, до пересечения с окружностью (Шаг 2).
Длинна отрезков CE = CF = L является длинной стороны правильного пятиугольника.
Четырьмя дугами радиусом L следует сделать засечки на окружности (Шаг 3).
Точка С и точки пересечения дуг с окружностью являются вершинами правильного пятиугольника (Шаг 4).
Деление окружностей. Построение правильного семиугольника.
Сторона правильного семиугольника приближенно равна 1/2 стороны правильного треугольника.
Поэтому сначала следует построить основание правильного треугольника (Шаг 1).
Основание правильного треугольника AB делится пополам в точке С вертикальным
диаметром окружности (Шаг 2). Длинна отрезка z = AC является длиной стороны
правильного семиугольника.
Радиусом дуги равным z следует сделать на окружности засечки, как показано на рисунке (Шаг 3).
Построения лучше начинать из верхней точки D.
Из точки D, последовательно следует соединить все точки пересечения дуг с окружностью.
В итоге получаем правильный семиугольник (Шаг 4).
Сопряжения. Точка сопряжения.
Сопряжением называется такое соединение двух линий, при котором обеспечивается
плавный переход одной линии в другую.
Точка плавного перехода называется точкой сопряжения.
В точке сопряжения N прямой и окружности прямая является касательной к окружности.
Две окружности в точке сопряжения имеют общую касательную.
Точка сопряжения и центры касающихся окружностей лежат на одной
прямой - точки O1, N1, O или точки O, O2, N2.
Сопряжение двух параллельных прямых дугой полуокружности.
Проведем прямую 3, перпендикулярную параллельным прямым 1 и 2 (Шаг 1).
Делим отрезок AB пополам (Шаг 2).
Проводим дугу полуокружности радиуса R = AO = OB, которая плавно соединяет
данные параллельные прямые (Шаг 3).
Скругление прямого угла дугой радиуса R
Дан прямой угол и радиус дуги R (Шаг 1).
Из вершины угла, как из центра, проводим дугу данного радиуса R,
которая пересекает стороны угла в точках B и C (Шаг 2). 
Из точек В и С, как из центров, проводим дуги радиуса R до их пересечения в точке D (Шаг 3).
Дуга радиуса DB = R, проведенная между точками С и В, скругляет данный прямой угол (Шаг 4).
Скругление острого угла дугой радиуса R
Дан острый угол между прямыми 1 и 2 и радиус дуги R (Шаг 1).
Проведем прямые 3 и 4, соответственно параллельные сторонам 1 и 2 угла, на
расстоянии R от них (Шаг 2).
Опустим перпендикуляры из точки О на стороны угла (Шаг 3).
Основания перпендикуляров В и С - это точки сопряжения.
Проведем дугу ВС радиуса ОВ = R, которая скругляет данный угол (Шаг 4).
Сопряжение двух окружностей дугой данного радиуса R (1-й случай)
Проведем радиусами R1+R и R2+R две дуги 1 и 2, концентрические данным окружностям (Шаг 1).
Пересечение дуг 1 и 2 определяет центр сопряжения О. Проведем прямые ОО1 и ОО2,
пересекающие данные окружности в точках сопряжения А1 и А2 (Шаг 2).
Из центра О радиусом ОА1 проведем дугу А1А2 (Шаг 3),
которая плавно соединяет данные окружности.
Сопряжение двух окружностей дугой данного радиуса R (2-й случай)
Проведем радиусами R1-R и R2+R две дуги 1 и 2, концентрические данным окружностям.
Пересечение дуг 1 и 2 определяет центр сопряжения О.
Проведем прямые ОО1 и ОО2, пересекающие данные окружности в точках сопряжения А1 и А2
(Шаг 1). 
Из центра О радиусом ОА1 проведем дугу А1А2, которая плавно соединяет данные окружности (Шаг 2).
Сопряжение прямой и окружности радиуса R дугой данного радиуса r (1-й случай)
Проведем прямую 3 параллельно прямой 1 на расстоянии r от нее и из центра О дугу 2
радиусом R+r (Шаг 1). 
Проводим дугу АВ из центра О1 радиусом r, которая плавно соединяет
прямую 1 и окружность радиуса R (Шаг 3).
Сопряжение прямой и окружности радиуса R дугой данного радиуса r (2-й случай r > R)
Проведем прямую 3 параллельно прямой 1 на расстоянии r от нее и из центра О дугу 2
радиусом r - R (Шаг 1).
Точка О1 пересечения дуги 2 и прямой 3 есть центр дуги радиуса r.
Определим точки сопряжения А и В, опустив перпендикуляр из О1 на прямую 1 и
соединив центры О и О1(Шаг 2).
Проводим дугу АВ из центра О1 радиусом r, которая плавно соединяет
прямую 1 и окружность радиуса R (Шаг 3).
