Совет 1: Как найти модуль вектора перемещения

Инструкция

Во время движения материальное тело меняет свое положение в пространстве. Его траектория может быть прямой линией или произвольной, ее длина составляет путь тела, но не расстояние, на которое оно переместилось. Эти две величины совпадают только в случае прямолинейного движения.

Итак, пусть тело совершило некоторое перемещение из точки А (х0, у0) в точку В (х, у). Чтобы найти модуль вектора перемещения, нужно вычислить длину вектора АВ. Начертите координатные оси и нанесите на них известные точки начального и конечного положения тела А и В.

Проведите отрезок из точки А в точку В, укажите направление. Опустите проекции его концов на оси и нанесите на графике параллельные и равные им отрезки, проходящие через рассматриваемые точки. Вы увидите, что на рисунке обозначился прямоугольный треугольник с катетами-проекциями и гипотенузой-перемещением.

По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы. Этот метод широко применяется в векторной алгебре и носит название правила треугольника. Для начала запишите длины катетов, они равны разностям между соответствующими абсциссами и ординатами точек А и В:
ABx = x – x0 – проекция вектора на ось Ох;
ABy = y – y0 – его проекция на ось Оу.

Определите перемещение |AB|:
|AB| = √(ABx² + ABy²) = ((x – x0)² + (y – y0)²).

Для трехмерного пространства добавьте в формулу третью координату – аппликату z:
|AB| = √(ABx² + ABy² + ABz²) = ((x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)²).

Полученную формулу можно применять для любой траектории и типа движения. При этом величина перемещения обладает важным свойством. Она всегда меньше либо равна длине пути, в общем случае ее линия не совпадает с кривой траектории. Проекции – величины математические, могут быть как больше, так и меньше нуля. Однако это не имеет значения, поскольку в расчете они участвуют в четной степени.

Вектор в геометрии - это направленный отрезок, который характеризуется упорядоченной парой точек в евклидовом пространстве. Длиной вектора называют число, которое равно длине отрезка формирующего вектор.

Инструкция

Найдём квадрат длины вектора. Он равен сумме квадратов его координат. То есть необходимо возвести в квадрат каждую координату и полученные результаты сложить.

Найдём непосредственно длину вектора. Она равна квадратному корню из суммы координат вектора. Вновь полученное число и будет являться длиной исходного вектора.

Видео по теме

Источники:

Вектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства.Ортом вектора является единичный вектор нормированного векторного пространства или вектор, норма (длина) которого равна единице.

Вам понадобится

• Знания по геометрии.

Инструкция

Для начала необходимо вычислить длину вектора . Как известно, длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат. Пусть дан вектор с координатами: a(3, 4). Тогда его длина равна |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.

Чтобы найти орт вектора a, необходимо поделить каждую его координату на его длину. Результатом будет вектор, который называется ортом или единичным вектором. Для вектора а(3, 4) ортом будет являться вектор а(3/5, 4/5). Вектор a" будет являться единичным для вектора а.

Для проверки, правильно ли найден орт, можно проделать следующее: найти длину полученного орта, если она равна единице, то все найдено верно, если нет, то в расчеты закралась ошибка. Проверим правильно ли найден орт a". Длина вектора a" равна: a" = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Итак, длина вектора a" равна единице, значит орт найден верно.

Видео по теме

Обратите внимание

Орт нулевого вектора не существует, так как длина нулевого вектора равна нулю.

Полезный совет

Для того, чтобы понять единичный ли вектор, необходимо найти его длину. Если она равна единице, то вектор единичный.

Вектор - отрезок, у которого есть не только длина, но и направление. Векторы играют большую роль в математике, но особенно в физике, поскольку физика очень часто имеет дело с величинами, которые удобно представлять в виде векторов. Поэтому в математических и физических расчетах может возникнуть необходимость вычислить длину вектора, заданного координатами.

Инструкция

В любой системе координат вектор определяют через две точки - начало и конец. Например, в декартовых координатах на плоскости вектор обозначается как (x1, y1; x2, y2). В пространстве, соответственно, у каждой точки будет по три координаты, и вектор предстанет в виде (x1, y1, z1; x2, y2, z2). Разумеется, вектор можно определить и для четырехмерного, и для любого другого пространства. Его будет намного труднее представить, но с точки зрения математики все вычисления, связанные с ним, останутся прежними.

Длину вектора еще называют его модулем. Если A - вектор, то |A| - число, равное его модулю. Например, любое вещественное число можно представить как одномерный вектор с началом в точке нуля. Скажем, число -2 будет вектором (0; -2). Модуль такого вектора будет равен квадратному корню из квадрата координаты его конца, то есть √((-2)^2) = 2.

В общем виде, если A = (0, x), то |A| = √(x^2). Из этого, в частности, следует, что модуль вектора не зависит от его направления - числа 2 и -2 равны по модулю.

Перейдем к декартовым координатам на плоскости. И в этом случае проще всего вычислить длину вектора, если его начало совпадает с началом координат. Квадратный корень нужно будет извлечь из суммы квадратов координат окончания вектора. |0, 0; x, y| = √(x^2 + y^2).Например, если у нас есть вектор A = (0, 0; 3, 4), то его модуль |A| = √(3^2 + 4^2) = 5.

Фактически, вы вычисляете модуль по формуле Пифагора о гипотенузе прямоугольного треугольника. Координатные отрезки, задающие вектор, играют роль катетов, а вектор служит гипотенузой, квадрат которой, как известно, равен сумме их квадратов.

Когда начало вектора не находится в точке отсчета координат, вычисление модуля становится чуть более трудоемким. В квадрат придется возводить не координаты конца вектора, а разности между координатой конца и соответствующей координатой начала. Легко заметить, что, если координата начала равна нулю, то формула превращается в предыдущую. Вы точно так же пользуетесь здесь теоремой Пифагора - разности координат становятся длинами катетов.

Если A = (x1, y1; x2, y2), то |A| = √((x2 - x1)^2 + (y2-y1)^2). Предположим, что нам задан вектор A = (1, 2; 4, 6). Тогда его модуль равен |A| = √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = 5. Если вы построите на координатной плоскости этот вектор и сравните его с предыдущим, то легко увидите, что они равны между собой, что и становится очевидным при вычислении их длины.

Эта формула универсальна, и ее легко обобщить на случай, когда вектор расположен не на плоскости, а в пространстве, или даже имеет больше трех координат. Его длина по-прежнему будет равна квадратному корню из суммы квадратов разностей координат конца и начала.

Источники:

• Прикладная математика — сборник формул

Чтобы определить вектор в пространстве, используется система координат. При этом нужно учитывать, что кроме длины (модуля) он характеризуется еще и направлением. Длину вектора можно просто измерить или найти при помощи формул.

Вам понадобится

• - линейка;
• - транспортир.

Инструкция

В самом простом случае для того, чтобы найти длину вектора , измерьте при помощи линейки длину отрезка, который и является вектором.

Вектор в пространстве задается координатами его начальной и конечной точки. Обозначьте координаты начальной точки (x1;y1;z1), а конечной точки (x2;y2;z2). Чтобы найти длину вектора , сделайте следующее:- определите координаты вектора . Для этого от координат начальной точки отнимите соответствующие координаты конечной точки x=x2-x1, y=y2-y1, z=z2-z1. Получите вектор с координатами (x;y;z);- найдите сумму квадратов всех координат вектора x²+y²+z². Из полученного результата извлеките корень квадратный. Это и будет длина рассматриваемого вектора .

В том случае, если координаты вектора даны сразу, задача упрощается. Если вектор расположен не в пространстве, а на плоскости, то одна из координат просто убирается; как правило, это координата z. Тогда длина находится подстановкой в формулу только двух координат. Если вектор параллелен одной из осей, то его длина равна его координате по оси, которой он параллелен (если координата отрицательна, берите ее модуль).

Иногда для определения вектора используют его проекцию на ось, и значение угла к этой оси. Например, проекция вектора на ось ОХ равна х0 и он находится к ней под углом α. Найдите длину вектора , умножив его проекцию на ось, на косинус угла, под которым он находится d=x0 cos(α).

Если вектор представляет собой сумму двух векторов, с известными длинами и углом между ними, который измерьте угломером или транспортиром. Найдите сумму квадратов длин этих векторов и отнимите от получившегося значения удвоенное произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними. Это и будет длина искомого вектора . Если же известны координаты векторов, сумма которых находится, сложите соответствующие их координаты, получив координаты вектора , который является их сумой, а затем по координатам найдите его длину.

В математике и физике «модулем» принято называть абсолютное значение какой-либо величины, не учитывающее ее знака. Применительно к вектору это означает, что его направление следует игнорировать, считая обычным отрезком прямой. В этом случае задача нахождения модуля сводится к вычислению длины такого отрезка, заданного координатами исходного вектора .