Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства. «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа Изучение нового материала в форме беседы
городского округа Тольятти
«Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.
Учитель Костина Т.К.
г. о. Тольятти
Тема урока: «Наибольший общий делитель.
Взаимно простые числа»
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Делители и кратные», «Признаки делимости на 10, 5, 2, 3, 9», « Простые и составные числа», «Разложение на простые множители»»
Цели урока :
Образовательная: изучить понятия НОД и взаимно простых чисел; научить учащихся находить НОД чисел; создать условия для выработки умения обобщать изученный материал, анализировать, сопоставлять и делать выводы.
Воспитательная: формирование навыков самоконтроля; воспитание чувства ответственности.
Развивающая: развитие памяти, воображения, мышления, внимания, сообразительности.
Ход урока
Минутки логических задачУстная работа.
1. Бабушка и дедушка принесли из сада для двух своих внуков по нечетному числу абрикос. Можно ли эти абрикосы разделить поровну между внуками? [можно]
2. От одного села до другого 3 км. Из этих сел навстречу друг другу с одной и той же скоростью вышли два человека. Встреча произошла через полчаса. Найдите скорость каждого.
3.Турист прошел 2/5 всего пути. После этого ему осталось пройти на 4 км больше, чем он прошел. Найдите весь путь.
4. Число яиц в корзине меньше 40. Если их сосчитать парами, то останется 1 яйцо. Если же сосчитать их тройками, то все равно останется по одному яйцу. Сколько яиц в корзине? (31)
2. Повторение.
По таблице повторяем определение делителя, кратного, признаки делимости, определение простых и составных чисел. На экране слайды с изображением животных, карта Самарской области, фотографии ВАЗа.
3. Изучение нового материала в форме беседы.
Назовите делители числа 18, 21, 24.
Площадь ВАЗа 500 га. На какие простые множители можно разложить это число? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
Назовите общие делители чисел 120 и 80.
Масса медведя 525 кг. Масса слона 5025 кг. Назовите несколько общих делителей
Бобер весит 24 кг, а его длина 97 см. Какие эти числа простые или сложные? Назовите их общие делители.
56640 т кислорода расходует 1 пассажирский самолет за 9 часов работы. Такое количество кислорода выделяется при фотосинтезе 35000 га леса. Назовите несколько делителей этого числа.
Какие из этих чисел простые, а какие составные? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?
Какое из чисел делится на все числа без остатка?
Какое число является делителем любого натурального числа?
Делится ли выражение 34*28+85*20 на 17?
Делится ли выражение 4132*7008 на 3?
Чему равно частное (3*5*2*7*13)/(5*2*13)=?
Чему равно произведение (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)?
Назовите несколько простых чисел.
Чем дальше мы идем по натуральному ряду чисел, тем труднее находить простые числа. Представим себе, что мы летим на самолете, который летит вдоль натурального ряда. Кругом темно и только простые числа обозначены огоньками. В начале пути огоньков много, а затем все реже и реже.
Древнегреческий ученый Евклид 2300 лет назад доказал, что простых чисел бесконечно много и что наибольшего простого числа не существует.
Проблемой простых чисел занимались многие ученые математики, в том числе древнегреческий ученый Эратосфен. Его способ отыскания простых чисел назвали решетом Эратосфена.
Гольдбах и Эйлер, жившие в 18 веке и бывшие членами Петербургской академии наук занимались проблемой простых чисел. Они предполагали, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы простых чисел, но это не доказано. В 1937 году советский академик Виноградов доказал это предложение.
Индийский слон прожил 65 лет, крокодил – 51 год, верблюд – 23, лошадь – 19 лет. Какие из этих чисел простые и составные?
Зайца догоняет волк, ему надо пробраться через лабиринт. Можно пройти, если в ответе простое число [лабиринты в виде окружностей, на которых по три примера, а в центре домик]
1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5
К задаче на доске запись:
Делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36
НОД (48; 36) = 12 12 подарков определение НОД делителя правило нахождения НОД
А как найти НОД больших чисел, когда трудно перечислить все делители. По таблице и учебнику выводим правило. Выделяем главные слова: разложить, составить, перемножить.
Показываю примеры нахождения НОД с больших чисел, здесь можно сказать, что НОД больших чисел можно находить с помощью алгоритма Евклида. Подробно с этим алгоритмом мы познакомимся на занятиях математической школы.
Алгоритм – это правило, по которому выполняются действия. В 9 веке такие правила дал арабский математик Альхваруими.
4. Работа в группах по 4 человека.
Каждый получает один из 4 вариантов заданий, где указано следующее:
Ученик должен по учебнику изучить теорию и ответить на один вопрос
Изучить пример нахождения НОД
Выполнить задания для самостоятельной работы.
В конце работы проводится небольшая самостоятельная работа.
Карточки КСО
Вариант 1
1. Какое число называется простым? Какое число называется составным?
2. Найти НОД (96; 36)
Чтобы найти НОД чисел, надо разложить данные числа на простые множители.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
36=2 2 *3 2
96=2 5 *3
В разложение числа, являющегося НОД чисел 96 и 36, войдут общие простые множители с наименьшим показателем:
НОД (96;36)=2 2 *3=4*3=12
3. Решите самостоятельно. НОД(102; 84), НОД(75; 28), НОД(120; 144)
Вариант 2
1. Что значит разложить натуральное число на простые множители? Какое число называется общим делителем данных чисел?
2. Образец НОД (54; 72)=18
3. Решите самостоятельно НОД(144; 128), НОД (81; 64), НОД(360; 840)
Вариант 3
1. Какие числа называются взаимно простыми? Приведите пример.
2. Образец НОД (72; 96) =24
3. Решите самостоятельно НОД(102; 170), НОД(45; 64), НОД(864; 192)
Вариант 4
1. Как найти общий делитель чисел?
2. Образец НОД (360; 432)
3. Решите самостоятельно НОД (135; 105), НОД (128; 75), НОД(360;8400)
Самостоятельная работа
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 |
| НОД (180; 120) | НОД (150; 375) | НОД (135; 315; 450) | НОД (250; 125; 375) |
| НОД (2016; 1320) | НОД (504; 756) | НОД (1575, 6615) | НОД (468; 702) |
| НОД (3120; 900) | НОД (1028; 1152) | НОД (1512; 1008) | НОД (3375; 2250) |
5. Подведение итогов урока. Сообщение оценок за самостоятельную работу.
Одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?
Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.
Получим: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Затем выпишем все делители числа 36.
Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольший общим делителем чисел 48 и 36.
Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиУрок математики в 5 А классе по теме:
(по учебнику Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон)
Учитель математики: Данилова С.И.
Тема урока: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Цель урока: Получить универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя чисел. Научиться находить НОД чисел методом разложения на множители.
Формируемые результаты :
Предметные: составить и освоить алгоритм нахождения НОД, тренировать способность к его практическому применению.
Личностные: формировать умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности.
Метапредметные: формировать умение находить НОД чисел, применять признаки делимости, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы.
Планируемые результаты:
Учащийся научится находить НОД чисел с помощью разложения чисел на простые множители.
Основные понятия: НОД чисел. Взаимно простые числа.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.
Необходимое техническое оборудование: компьютер учителя, проектор, интерактивная доска.
Структура урока.
Организационный момент.
Устная работа. Гимнастика для ума.
Сообщение темы урока. Изучение нового материала.
Физкультминутка.
Первичное закрепление нового материала.
Самостоятельная работа.
Домашнее задание. Рефлексия деятельности.
Ход урока
Организационный момент. (1 мин.)
Задачи этапа: обеспечить обстановку для работы обучающихся класса и психологически подготовить их к общению на предстоящем уроке
Приветствие:
Здравствуйте, ребята!
Друг на друга поглядели,
И тихонечко все сели.
Прозвенел уже звонок.
Начинаем наш урок.
Устная работа. Гимнастика ума. (5 мин.)
Задачи этапа: вспомнить и закрепить алгоритмы ускоренных вычислений, повторить признаки делимости чисел.
В старину на Руси говорили, что умножение- мучение, а с делением беда.
Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался великим математиком.
Давайте проверим можно ли вас назвать великими математиками.
Проведем гимнастику ума.
1) Выберите из множества
А={716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175}
числа, кратные 2, кратные 5, кратные 3.
2) Вычислите устно:
5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =
2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =
Мотивация к учебной деятельности. Постановка цели и задач урока. (4 мин.)
Цель:
1) включение учащихся в учебную деятельность;
2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: новые способы нахождения НОД чисел;
3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.
– Ребята, над какой темой вы работали на прошлых уроках? (Над разложением чисел на простые множители) Какие знания нам при этом понадобились? (Признаки делимости)
Открыли тетради, проверим домашний номер № 638.
В домашней работе вы определяли с помощью разложения на множители делится ли число а на число b и находили частное. Давайте проверим, что у вас получилось. Проверяем № 638. В каком случае а делится на b ? Если а делится нацело на b , то чем является b для а? Чем является b для а и b ? А как вы думаете, как найти НОД чисел, если одно из них не делится на другое? Какие у вас предположения?
А теперь давайте рассмотрим задачу: «Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «белочка» и 36 шоколадок «вдохновение», если надо использовать все конфеты и шоколадки?»
На доске и в тетрадях запись:
36=2*2*3*3
48=2*2*2*2*3
НОД(36,48)=2*2*3=12
Как мы можем применить разложение на множители для решения этой задачи? Что мы фактически находим? НОД чисел. Какова цель нашего урока? Научиться находить НОД чисел новым способом.
4. Сообщение темы урока. Изучение нового материала. (3.5 мин.)
Запишите число и тему урока: «Наибольший общий делитель».
(наибольший общий делитель – это наибольшее число, на которое делится каждое из данных натуральных чисел). Все натуральные числа имеют хотя бы один общий делитель – число 1.
Однако многие числа имеют несколько общих делителей. Универсальным способом поиска НОД является разложение данных чисел на простые множители.
Запишем алгоритм нахождения НОД нескольких чисел.
Разложить данные числа на простые множители.
Найти одинаковые множители и подчеркнуть их.
Найти произведение общих множителей.
Физкультминутка (встали из-за парт)- флэш ролик. (1.5 мин.)
(Запасной вариант:
Вверх мы дружно потянулись,
И друг другу улыбнулись.
Раз – хлопок и два – хлопок.
Ногой левой – топ, и правой - топ.
Покачали головой –
Разминаем шею.
Топ ногой, теперь – другой
Вместе все успеем.)
Первичное закрепление нового материала. ( 15 мин.)
Реализация построенного проекта
Цель:
1) организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом;
2) организовать фиксацию нового способа действия в речи;
3) организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона);
4) организовать фиксацию преодоления затруднения;
5) организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).
Организация учебного процесса: № 650(1-3), 651(1-3)
№ 650 (1-3).
№ 650 (2) разобрать подробно, т.к. общих простых делителей нет.
Первый пункт выполнен.
2. D (а ; b ) = нет
3. НОД (а ; b ) = 1
Что интересного вы заметили? (Числа не имеют общих простых делителей.)
В математике такие числа называются взаимно простыми числами. Запись в тетрадях:
Числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.
а и b взаимно простые НОД (a ; b ) = 1
Что вы можете сказать о наибольшем общем делители взаимно простых чисел?
(Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.)
№ 651 (1-3)
Задание выполняется у доски с комментарием.
Разложим числа на простые множители, используя известный алгоритм:
75 3 135 3
25 5 45 3
5 5 15 3
1 5 5
НОД (75; 135) =3*5= 15.
180 2*5 210 2*5
18 2 21 3
9 3 7 7
3 3 1
НОД (180, 210)=2*5*3=30
125 5 462 2
25 5 231 3
5 5 77 7
1 11 11
НОД (125, 462)=1
7. Самостоятельная работа.
(10 мин.)
Как доказать, что вы научились находить наибольший общий делитель чисел новым способом? (Надо выполнить самостоятельную работу.)
Самостоятельная работа.
Найдите наибольший общий делитель чисел с помощью разложения на простые множители.
Вариант 1 Вариант 2
a=2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a=2 × 3 × 5 × 7 × 7
b=2 × 5× 7 × 7 × 13 b=3 × 3 × 7 × 13 × 19
60 и 165 2) 75 и 135
81 и 125 3) 49 и 125
4) 180, 210 и 240 (дополнительный)
Ребята, попробуйте применить свои знания при выполнении самостоятельной работы.
Ученики сначала выполняют самостоятельную работу, затем взаимопроверка и проверка с образцом на слайде.
Проверка самостоятельной работы:
Вариант 1 Вариант 2
НОД(a,b)=2 × 7=14 1) НОД(a,b)=3 × 7=21
НОД(60, 165 )=3 × 5 =15 2) НОД(75, 135)=3 × 5 =15
НОД(81, 125)=1 3) НОД(49, 125)=1
8. Рефлексия деятельности. (5 мин.)
Что нового вы узнали на уроке? (Новый способ нахождения НОД, используя разложения на простые множители, какие числа называются взаимно простые, как найти НОД чисел, если большее число делится на меньшее число.)
Какую цель вы ставили перед собой?
Вы достигли цели?
Что вам помогло в достижении цели?
– Определите истинность для себя одного из следующих утверждений (Р-1).
Что вам необходимо сделать дома, чтобы лучше разобраться в данной теме? (Прочитать пункт, и потренироваться в нахождении НОД новым методом).
Домашнее задание:
п.2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.
Определите истинность для себя одного из следующих утверждений:
«Я понял, как находить НОД чисел», 
«Я знаю, как находить НОД чисел, но еще допускаю ошибки», 
«У меня остались нерешенные вопросы».
Отобразите свои ответы в виде смайликов на листочке.
Готовые работы
ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге
МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге
ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ
После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.
Общие делители
Пример 1
Найти общие делители чисел $15$ и $–25$.
Решение .
Делители числа $15: 1, 3, 5, 15$ и им противоположные.
Делители числа $–25: 1, 5, 25$ и им противоположные.
Ответ : у чисел $15$ и $–25$ общими делителями будут числа $1, 5$ и им противоположные.
Согласно свойствам делимости числа $−1$ и $1$ – делители любого целого числа, значит, $−1$ и $1$ всегда будут общими делителями для любых целых чисел.
Любой набор целых чисел всегда будет иметь как минимум $2$ общих делителя: $1$ и $−1$.
Отметим, что если целое число $a$ – общий делитель некоторых целых чисел, то –а также будет общим делителем для этих чисел.
Чаще всего на практике ограничиваются только положительными делителями, но при этом не стоит забывать, что каждое противоположное положительному делителю целое число также будет делителем данного числа.
Определение наибольшего общего делителя (НОД)
Согласно свойствам делимости у каждого целого числа есть хотя бы один делитель, отличный от нуля, и количество таких делителей конечно. В таком случае общих делителей заданных чисел также конечное число. Из всех общих делителей заданных чисел можно выделить наибольшее число.
В случае равенства всех данных чисел нулю нельзя определить наибольший из общих делителей, т.к. нуль делится на любое целое число, которых бесконечное множество.
Обозначается наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ в математике $НОД(a, b)$.
Пример 2
Найти НОД целых чисел 412$ и $–30$..
Решение .
Найдем делители каждого из чисел:
$12$: числа $1, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные.
$–30$: числа $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ и им противоположные.
Общими делителями чисел $12$ и $–30$ будут $1, 3, 6$ и им противоположные.
$НОД (12, –30)=6$.
Определить НОД трех и более целых чисел можно аналогично определению НОД двух чисел.
НОД трех и более целых чисел является наибольшее целое число, которое делит одновременно все числа.
Обозначают наибольший делитель $n$ чисел $НОД(a_1, a_2, …, a_n)= b$.
Пример 3
Найти НОД трех целых чисел $–12, 32, 56$.
Решение .
Найдем все делители каждого из чисел:
$–12$: числа $1, 2, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные;
$32$: числа $1, 2, 4, 8, 16, 32$ и им противоположные;
$56$: числа $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ и им противоположные.
Общими делителями чисел $–12, 32, 56$ будут $1, 2, 4$ и им противоположные.
Найдем наибольшее из этих чисел, сравнив только положительные из них: $1
$НОД(–12, 32, 56)=4$.
В некоторых случаях НОД целых чисел может быть одно из этих чисел.
Взаимно простые числа
Определение 3
Целые числа $a$ и $b$ – взаимно простые , если $НОД(a, b)=1$.
Пример 4
Показать, что числа $7$ и $13$ – взаимно простые.
