Высота треугольника зная все стороны. Высота треугольника. Визуальный гид (2020). Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Высота треугольника это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение (сторона, на которую опускается перпендикуляр, в данном случае называется основанием треугольника).

В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника. Третья внутри треугольника.

В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике катеты служат высотами.

Как найти высоту по основанию и площади

Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh .

• А — площадь треугольника
• b — сторона треугольника, на которую опущена высота.
• h — высота треугольника

Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.

Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.

Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае «‘А = 20″‘, ‘»b = 4′».

Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.

В нашем примере: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника.
Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.

Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника!

Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.

Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.

Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!

b = √48 = 6,93

Как найти высоту с помощью углов и сторон

Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь — буквой «S».

Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.

Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).

Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.

Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.

Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).

Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.

Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.

Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.

Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками, которые соединены тремя отрезками. Чтобы найти, чему равна высота треугольника, необходимо, в первую очередь, определить его тип. Треугольники различаются величиной углов и количеством равных углов. По величине углов треугольник может быть остроугольным, тупоугольным и прямоугольным. По числу равных сторон выделяют равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники. Высота – это перпендикуляр, который опущен на противоположную сторону треугольника из его вершины. Как найти высоту треугольника?

Как найти высоту равнобедренного треугольника

Для равнобедренного треугольника характерно равенство сторон и углов при его основании, поэтому проведенные к боковым сторонам высоты равнобедренного треугольника всегда равны друг другу. Также высота данного треугольника одновременно является медианой и биссектрисой. Соответственно, высота делит основание пополам. Рассматриваем получившийся прямоугольный треугольник и находим сторону, то есть высоту равнобедренного треугольника, посредством теоремы Пифагора. Воспользовавшись следующей формулой, вычисляем высоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 , где: а - боковая сторона данного равнобедренного треугольника, b - основание данного равнобедренного треугольника.

Как найти высоту равностороннего треугольника

Треугольник с равными сторонами называется равносторонним. Высоту такого треугольника выводят из формулы высоты равнобедренного треугольника. Получается: H = √3/2*a, где a - сторона данного равностороннего треугольника.

Как найти высоту разностороннего треугольника

Разносторонним называют треугольник, у которого какие-либо две стороны не являются равными друг другу. В таком треугольнике все три высоты будут разными. Рассчитать длины высот можно при помощи формулы: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, где а - сторона треугольника или сначала посчитать площадь конкретного треугольника по формуле Герона, которая выглядит как: S = (p*(p-c)*(p-b)*(p-a))^1/2, где а, b, с – стороны разностороннего треугольника, а p – его полупериметр. Каждая высота = 2*площадь/сторону

Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Высота, которая проходит к одному из катетов, в то же время является вторым катетом. Поэтому чтобы найти лежащие на катетах высоты, нужно воспользоваться изменённой формулой Пифагора: a = √(c 2 − b 2), где a, b - это катеты (a - катет, который необходимо найти), c - длина гипотенузы. Для того, чтобы найти вторую высоту надо поставить полученное значение a на место b. Для нахождения третьей, лежащей внутри треугольника, высоты применяется следующая формула: h = 2s/a, где h - высота прямоугольного треугольника, s - его площадь, a - длина стороны, к которой будет перпендикулярна высота.

Треугольник называется остроугольным в случае, если все его углы острые. В таком случае все три высоты располагаются внутри остроугольного треугольника. Треугольник называется тупоугольным при наличии одного тупого угла. Две высоты тупоугольного треугольника находятся вне треугольника и падают на продолжение сторон. Третья сторона находится внутри треугольника. Высота определяется при помощи все той же теоремы Пифагора.

Общие формулы, как вычисления высоты треугольника

• Формула для нахождения высоты треугольника через стороны: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), где h - высота, которую нужно найти, а, b и c – стороны данного треугольника, p – его полупериметр, .
• Формула для нахождения высоты треугольника через угол и сторону: H=b sin y = c sin ß
• Формула для нахождения высоты треугольника через площадь и сторону: h = 2S/a, где a – это сторона треугольника, а h – построенная к стороне а высота.
• Формула для нахождения высоты треугольника через радиус и стороны: H= bc/2R.

Для решения многих геометрических задач требуется найти высоту заданной фигуры. Эти задачи имеют прикладное значение. При проведении строительных работ определение высоты помогает вычислить необходимое количество материалов, а также определить, насколько точно сделаны откосы и проемы. Часто для построения выкроек требуется иметь представление о свойствах

У многих людей, несмотря на хорошие оценки в школе, при построении обычных геометрических фигур возникает вопрос о том, как найти высоту треугольника или параллелограмма. Причем является самым сложным. Это происходит потому, что треугольник может быть острым, тупым, равнобедренным или прямоугольным. Для каждого из существуют свои правила построения и расчета.

Как найти высоту треугольника, в котором все углы острые, графическим способом

Если все углы у треугольника острые (каждый угол в треугольнике меньше 90 градусов), то для нахождения высоты необходимо сделать следующее.

1. По заданным параметрам выполняем построение треугольника.
2. Введем обозначения. А, В и С будут вершинами фигуры. Углы, соответствующие каждой вершине - α, β, γ. Противолежащие этим углам стороны - a, b, c.
3. Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла к противоположной стороне треугольника. Для нахождения высот треугольника проводим построение перпендикуляров: из вершины угла α к стороне a, из вершины угла β к стороне b и так далее.
4. Точку пересечения высоты и стороны a обозначим H1, а саму высоту h1. Точка пересечения высоты и стороны b будет H2, высота соответственно h2. Для стороны c высота будет h3, а точка пересечения H3.

Высота в треугольнике с тупым углом

Теперь рассмотрим, как найти высоту треугольника, если один (больше 90 градусов). В этом случае высота, проведенная из тупого угла, будет внутри треугольника. Остальные две высоты будут находиться за пределами треугольника.

Пусть в нашем треугольнике углы α и β будут острыми, а угол γ - тупой. Тогда для построения высот, выходящих из углов α и β, надо продолжить противоположные им стороны треугольника, чтобы провести перпендикуляры.

Как найти высоту равнобедренного треугольника

У такой фигуры есть две равные стороны и основание, при этом углы, находящиеся при основании, также являются равными между собой. Это равенство сторон и углов облегчает построение высот и их вычисление.

Сначала нарисуем сам треугольник. Пусть стороны b и c, а также углы β, γ будут соответственно равными.

Теперь проведем высоту из вершины угла α, обозначим ее h1. Для эта высота будет одновременно биссектрисой и медианой.

Для основания можно сделать только одно построение. Например, провести медиану - отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника и противоположную сторону, основание, для нахождения высоты и биссектрисы. А для вычисления длины высоты для двух других сторон можно построить только одну высоту. Таким образом, чтобы графически определить, как вычислить высоту равнобедренного треугольника, достаточно найти две высоты из трех.

Как найти высоту прямоугольного треугольника

У прямоугольного треугольника определить высоты намного проще, чем у других. Это происходит потому, что сами катеты составляют прямой угол, а значит, являются высотами.

Для построения третьей высоты, как обычно, проводится перпендикуляр, соединяющий вершину прямого угла и противоположную сторону. В итоге для того, чтобы треугольника в данном случае, требуется только одно построение.

При решении различного рода задач, как сугубо математического, так и прикладного характера (особенно в строительстве), нередко требуется определить значение высоты определенной геометрической фигуры. Как рассчитать данную величину (высоту) в треугольнике?

Если мы попарно совместим 3 точки, расположенные не на единой прямой, то полученная фигура будет треугольником. Высота – часть прямой из любой вершины фигуры, которая при пересечении с противоположной стороной образует угол 90°.

Найти высоту в разностороннем треугольнике

Определим значение высоты треугольника в случае, когда фигура имеет произвольные углы и стороны.

Формула Герона

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, где

p – половина периметра фигуры, h(a) – отрезок к стороне a, проведенный под прямым углом к ней,

p=(a+b+c)/2 – расчет полупериметра.

В случае наличия площади фигуры для определения ее высоты можно воспользоваться соотношением h(a)=2S/a.

Тригонометрические функции

Для определения длины отрезка, который составляет при пересечении со стороной a прямой угол, можно воспользоваться следующими соотношениями: если известна сторона b и угол γ или сторона c и угол β, то h(a)=b*sinγ или h(a)=c*sinβ.
Где:
γ – угол между стороной b и a,
β – угол между стороной c и a.

Взаимосвязь с радиусом

Если исходный треугольник вписан в окружность, для определения величины высоты можно воспользоваться радиусом такой окружности. Центр ее расположен в точке, где пересекаются все 3 высоты (из каждой вершины) – ортоцентре, а расстояние от него и до вершины (любой) – радиус.

Тогда h(a)=bc/2R, где:
b, c – 2 другие стороны треугольника,
R – радиус описывающей треугольник окружности.

Найти высоту в прямоугольном треугольнике

В данном виде геометрической фигуры 2 стороны при пересечении образуют прямой угол – 90°. Следовательно, если требуется определить в нем значение высоты, то необходимо вычислить либо размер одного из катетов, либо величину отрезка, образующего с гипотенузой 90°. При обозначении:
a, b – катеты,
c – гипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гипотенузу.
Произвести необходимые расчеты можно с помощью следующих соотношений:

• Пифагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S=ab/2,то h(c)=ab/c .

• Тригонометрические функции:

a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Найти высоту в равнобедренном треугольнике

Данная геометрическая фигура отличается наличием двух сторон равной величины и третьей – основанием. Для определения высоты, проведенной к третьей, отличной стороне, на помощь приходит теорема Пифагора. При обозначениях
a – боковая сторона,
c – основание,
h(c) – отрезок к c под углом 90°, то h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).